Que es una matriz matemática

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¿Qué es una matriz?

Una matriz es una matriz rectangular de números, símbolos o expresiones, organizados en filas y columnas.

Historia de la Matriz

La matriz tiene una larga historia de aplicación en la resolución de ecuaciones lineales. Fueron conocidos como matrices hasta el siglo XIX. El término «matriz» (del latín «útero», derivado de mater-madre) fue acuñado por James Joseph Sylvester en 1850, quien entendía una matriz como un objeto que da lugar a una serie de determinantes hoy denominados menores, es decir, determinantes de matrices más pequeñas que se derivan de la original eliminando columnas y filas.

Cullis

Un matemático inglés llamado Cullis fue el primero en usar la notación moderna de corchetes para matrices en 1913 y simultáneamente demostró el primer uso significativo de la notación A = ai, j para representar una matriz donde ai, j se refiere al elemento que se encuentra en la i-ésima fila. y la j-ésima columna. Las matrices se pueden utilizar para escribir de forma compacta y trabajar con múltiples ecuaciones lineales, lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales, simultáneamente. Las matrices y la multiplicación de matrices muestran sus características esenciales cuando se relacionan con transformaciones lineales, también conocidas como mapas lineales.

¿Qué es una matriz?

En matemáticas, una matriz (matrices plurales) es una matriz rectangular de números, símbolos o expresiones, organizados en filas y columnas. Las matrices se escriben comúnmente entre corchetes. Las líneas horizontales y verticales de entradas en una matriz se denominan filas y columnas , respectivamente. El tamaño de una matriz se define por el número de filas y columnas que contiene. Una matriz con m filas y n columnas se llama matriz m × n o x n matriz, mientras que m y n son llamados sus dimensiones .Las dimensiones de la matriz siguiente son ×3 (lea «dos por tres»), porque hay dos filas y tres columnas.

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Que es una matriz

Los elementos individuales (números, símbolos o expresiones) de una matriz se denominan elementos o entradas .
Siempre que sean del mismo tamaño (tengan el mismo número de filas y el mismo número de columnas), se pueden sumar o restar dos matrices elemento por elemento. La regla para la multiplicación de matrices, aunque, dos matrices se pueden multiplicar sólo cuando el número de columnas en la primera es igual al número de filas en la segunda. la matriz se puede multiplicar por elementos por un escalar de su campo asociado.

Las matrices que tienen una sola fila se denominan vectores de fila , y las que tienen una sola columna se denominan vectores de columna. Una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas se llama matriz cuadrada. En algunos contextos, como los programas de álgebra de computadora, es útil considerar una matriz sin filas o sin columnas, llamada matriz vacía.

Adición y sustracción; Multiplicación escalar

La suma, resta y multiplicación escalar de matrices son tipos de operaciones que se pueden aplicar para modificar matrices.

Hay una serie de operaciones que se pueden aplicar para modificar matrices, como la suma, resta y multiplicación escalar de matrices. Estos forman las técnicas básicas para trabajar con matrices.

Estas técnicas se pueden utilizar para calcular sumas, diferencias y productos de información como los refrescos que vienen en tres sabores diferentes: manzana, naranja y fresa y dos envases diferentes: botella y lata. Se escriben dos tablas que resumen las ventas totales entre el mes pasado y este mes para ilustrar las cantidades. La suma, resta y multiplicación escalar de matrices se pueden usar para encontrar cosas como: las ventas del mes pasado y las ventas de este mes, las ventas promedio de cada sabor y empaque de refresco en el-período de meses.

Sumar y restar matrices

Usamos matrices para listar datos o representar sistemas. Dado que las entradas son números, podemos realizar operaciones en matrices. Sumamos o restamos matrices sumando o restando las entradas correspondientes.

Para hacer esto, las entradas deben corresponder. Por tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. La suma de matrices es conmutativa y también asociativa, por lo que lo siguiente es cierto:

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

Agregar matrices es muy simple. Simplemente agregue cada elemento en la primera matriz al elemento correspondiente en la segunda matriz.

Tenga en cuenta que el elemento en la primera matriz, 1, agrega al elemento X11 en la segunda matriz, 10, para producir elemento X11 en la matriz resultante, 11. También tenga en cuenta que ambas matrices que se agregan son, y la matriz resultante también es . No puede agregar dos matrices que tienen diferentes dimensiones.

Como puede adivinar, restar funciona de la misma manera, excepto que resta en lugar de sumar.

Una vez más, tenga en cuenta que la matriz resultante tiene las mismas dimensiones que las originales y que no puede restar dos matrices que tienen diferentes dimensiones. Tenga cuidado al restar con números con signo.

Multiplicación escalar

En un contexto geométrico intuitivo, la multiplicación escalar de un vector euclidiano real por un número real positivo multiplica la magnitud del vector sin cambiar su dirección. ¿Qué significa multiplicar un número por ? Significa que agregas el número a sí mismo 3veces. Multiplicar una matriz por 3 significa lo mismo; se agrega la matriz a sí misma 3 veces, o simplemente multiplica cada elemento por esa constante.

La matriz resultante tiene las mismas dimensiones que la original. La multiplicación escalar tiene las siguientes propiedades:

  • Distributividad izquierda y derecha: (c + d) M = M (c + d) = M c + M d Asociatividad: (c d) M = c (d M)
  • Identidad: 1 M = M
  • Nulo: 0 M = 0
  • Aditivo inverso: (- 1) M = – M

Multiplicación de matrices

Al multiplicar matrices, los elementos de las filas en la primera matriz se multiplican con las columnas correspondientes en la segunda matriz.

Si A es una matriz n × m y B es una matriz m × p, el resultado A B de su multiplicación es una matriz n × p definida solo si el número de columnas m en A es igual al número de filas m en B. Asegúrese de que esto sea cierto antes de multiplicar las matrices, ya que «no hay solución» de lo contrario

Definición general y proceso: multiplicación de matrices

La multiplicación escalar es simplemente multiplicar un valor a través de todos los elementos de una matriz, mientras que la multiplicación de matrices es multiplicar cada elemento de cada fila de la primera matriz por cada elemento de cada columna en la segunda matriz. La multiplicación escalar es mucho más simple que la multiplicación de matrices; sin embargo, existe un patrón.

Al multiplicar matrices, los elementos de las filas en la primera matriz se multiplican con las columnas correspondientes en la segunda matriz. Cada entrada de la matriz resultante se calcula de una en una.

Para dos matrices, la posición final del producto se muestra a continuación:

Que es una matriz

Los valores en las intersecciones marcadas con círculos son:

Multiplicación de matrices: proceso

Ejemplo 1: encontrar el producto AB

Que es una matriz

Primero pregunte: ¿El número de columnas en A es igual al número de filas en B? El número de columnas en A es 2 y el número de filas en B también es 2, por lo tanto, existe un producto.

Comience produciendo el producto para la primera fila, primer elemento de columna. Tome la primera fila de la Matriz A y multiplíquela por la primera columna de la Matriz B: el primer elemento de A multiplicado por el primer elemento de columna de B, más el segundo elemento de A multiplicado por el segundo elemento de columna de B.

Continúe el patrón con la primera fila de A junto a la segunda columna de B, y luego repita con la segunda fila de A.

AB tiene entradas definidas por la ecuación:

La matriz de identidad

La matriz de identidad [I] se define de modo que [A] [I] = [I] [A] = [A], es decir, es la versión matricial de multiplicar un número por uno.

El número 1 tiene una propiedad especial: al multiplicar cualquier número por 1, el resultado es el mismo número, es decir, 5 ⋅ 1 = 5. Esta idea se puede expresar con la siguiente propiedad como una generalización algebraica: 1 x = x. La matriz que tiene esta propiedad se denomina matriz identidad.

Definición de la matriz de identidad

Designada como [I], está definida por la propiedad:

[A][I]=[I][A]=[A].

Tenga en cuenta que la definición de [I] [I] estipula que la multiplicación debe conmutar, es decir, debe producir la misma respuesta sin importar en qué orden se haga la multiplicación.

Esta estipulación es importante porque, para la mayoría de las matrices, la multiplicación no conmute. ¿Qué matriz tiene esta propiedad? Una primera suposición podría ser una matriz llena de 1 s, pero eso no funciona:

no es una matriz de identidad.

La matriz que funciona es un tramo diagonal de 1 s, con todos los demás elementos en 0.

Que es una matriz

Que es una matrizes la matriz de identidad para matrices de 2 × 2.

Para una matriz de 3 × 3, la matriz identidad es una de 3 × 3 con diagonal 1 soy el resto igual a 0:

Que es una matriz

Que es una matrizes la matriz de identidad para matrices de 3 × 3.

Es importante confirmar esas multiplicaciones y también confirmar que funcionan en orden inverso (como lo requiere la definición). No hay identidad para una matriz no cuadrada debido al requisito de que las matrices sean conmutativas. Para una matriz no cuadrada [A], se podría encontrar una matriz [I] tal que [A] [I] = [A], sin embargo, si el orden se invierte, se dejará una multiplicación ilegal. La razón de esto es que, para que dos matrices se multipliquen juntas, la primera debe tener el mismo número de columnas que la segunda tiene filas.

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